Question

15．已知f（x）=$\frac{1}{2}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$
（1）求f（x）的定义域，并证明其单调性
（2）解关于x的不等式f[x（x-$\frac{1}{2}$）]＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出定义域即可，并根据定义证明即可，
（2）先求出f（0）=$\frac{1}{2}$+lg1=$\frac{1}{2}$，根据函数的单调性即可求出．

解答 解：（1）由题意可知，$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得-1＜x＜1，
即函数的定义域为（-1，1）
设x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{2}$+lg$\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$-$\frac{1}{2}$-lg$\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=lg$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$，
∵$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$=$\frac{1-{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}-{x}_{1}}{1-{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1
∴lg$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）减函数，
（2）∵f（0）=$\frac{1}{2}$+lg1=$\frac{1}{2}$
∴f[x（x-$\frac{1}{2}$）]＜$\frac{1}{2}$=f（0），
∴0＜x（x-$\frac{1}{2}$）＜1，
∴$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$＜x＜0或$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$
故不等式的解集为（$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$）

点评 本题考查了函数的定义域以及函数的单调性和不等式的解法，属于基础题．