Question

20．已知正方形ABCD和正方形ABEF，如图所示，N，M分别是对角线AE，BD上的点，且$\frac{EN}{AN}$=$\frac{BM}{MD}$．求证：MN∥平面EBC

Answer 1

分析 过M作MP∥AB交BC于P，过N作NQ∥AB交BE于Q，连接PQ．根据比例关系和平行公理可得NQ$\stackrel{∥}{=}$PM，于是四边形MNQP为平行四边形，故而MN∥PQ，于是结论得证．

解答 证明：过M作MP∥AB交BC于P，过N作NQ∥AB交BE于Q，连接PQ．
∴$\frac{NQ}{AB}=\frac{EN}{AE}$，$\frac{PM}{CD}=\frac{PM}{AB}=\frac{BM}{BD}$，
∵$\frac{EN}{AN}=\frac{BM}{MD}$，∴$\frac{EN}{AE}=\frac{BM}{BD}$，
∴NQ=PM，
又NQ∥AB∥PM，
∴NQ∥PM，
∴四边形MNQP为平行四边形，
∴MN∥PQ，又MN?平面EBC，PQ?平面EBC，
∴MN∥平面EBC．

点评 本题考查了线面平行的判定定理，构造平行线是证明的关键，属于中档题．