Question

某网店经营的一红消费品的进价为每件12元，周销售量p（件）与销售价格x（元）的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．
（1）写出周销售量p（件）与销售价格x（元）元的函数关系式；
（2）写出利润周利润y（元）与销售价格x（元）的函数关系式；
（3）当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,函数解析式的求解及常用方法,函数的图象

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据函数图象为分段函的图象，所以应求12≤x≤20，与20＜x≤28两部分的解析式，由图象上的点分别代入p=ax+b，求出即可；
（2）利用周销售量与利润的积，可得利润周利润y（元）与销售价格x（元）的函数关系式；
（3）根据（2）分段求最值，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题设知，当12≤x≤20时，设p=ax+b，
则

12a+b=26 20a+b=10

，∴a=-2，b=50
∴p=-2x+50，
同理得，当20＜x≤28时，p=-x+30，
所以p=

-2x+50，12≤x≤20 -x+30，20＜x≤28

；
（2）当12≤x≤20时，y=（x-12）（-2x+50）=-2x²+74x-620；
当20＜x≤28时，y=（x-12）（-x+30）-20=-x²+42x-380；
∴y=

-2x2+74x-620，12≤x≤20 -x2+42x-380，20＜x≤28

；
（3）当12≤x≤20时，y=（x-12）（-2x+50）=-2x²+74x-620，
∴x=

37

2

时，y取得最大值

129

2

；
当20＜x≤28时，y=（x-12）（-x+30）-20=-x²+42x-380，
∴x=21时，y取得最大值61；
∵

129

2

＞61，
∴该消费品销售价格为

37

2

时，周利润最大，最大周利润为

129

2

．

点评：本题是一道综合题，难度较大．重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，能够从图象上准确地获取信息，本题中p与x的关系是分段的，要注意对应，这是做本题的关键．