Question

12．如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=4，AC=BC=3，∠ACB=90°．点D在线段AB上，AD=2DB．
（1）求异面直线BC与PD所成角的余弦值；
（2）求直线BC与平面PAB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，3，0），P（0，0，4），D（1，2，0）．利用向量法求解

解答 证明：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，3，0），P（0，0，4），D（1，2，0）．
（1）$\overrightarrow{BC}=（0，\;-3，\;0）$，$\overrightarrow{PD}=（1，\;2，\;-4）$．
设BC与PD所成的角为α，则$cosα=\frac{{|{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{PD}}|}}{{|{\overrightarrow{BC}}||{\overrightarrow{PD}}|}}=\frac{6}{{3\sqrt{21}}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{21}$，
∴异面直线BC与PD所成角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{21}}}{21}$．…（5分）
（2）可得$\overrightarrow{PA}=（3，\;0，\;-4）$，$\overrightarrow{PB}=（0，\;3，\;-4）$．
设平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=0，\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0$，得$\left\{\begin{array}{l}3x-4z=0\\ 3y-4z=0\end{array}\right.$．可取$\overrightarrow{n}$=（4，4，3），
设直线BC与平面PAB所成角为θ，
则$sinθ=|{\frac{{n•\overrightarrow{BC}}}{{|n|•|\overrightarrow{BC}|}}}|=|{\frac{-12}{{\sqrt{{4^2}+{4^2}+{3^2}}•3}}}|=\frac{{4\sqrt{41}}}{41}$，
∴直线BC与平面PAB所成角的余弦值为$cosθ=\sqrt{1-{{sin}^2}θ}=\frac{{5\sqrt{41}}}{41}$． …（10分）

点评 本题考查了向量法求空间异面直线的夹角、直线与平面所成角，属于中档题．