Question

5．若f（x）=e^x+ae^-x为奇函数，则满足不等式$f（{x-1}）＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$的x的取值范围为{x|x＜2}．

Answer 1

分析 根据奇函数的性质求得a=-1，可得f（x）=e^x -e^-x ．不等式即f（x-1）＜f（1），再利用函数的单调性可得x-1＜1，由此求得x的取值范围．

解答 解：f（x）=e^x+ae^-x为奇函数，∴f（0）=1+a=0，求得a=-1，可得f（x）=e^x -e^-x ．
不等式$f（{x-1}）＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$，即e^x-1 -e^1-x＜e-$\frac{1}{e}$，即f（x-1）＜f（1）．
再根据f（x）=e^x -e^-x ．在R上单调递增，可得x-1＜1，∴x＜2，
故答案为：{x|x＜2}．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．