Question

13．已知a∈R，函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+2ax（{x∈R}）$．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在R上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为x²-ax-2a≥0对x∈R都成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2x$，
∴f'（x）=-x²+x+2，令f'（x）＞0，
即-x²+x+2＞0，即x²-x-2＜0，解得-1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，2）．
（2）若函数f（x）在R上单调递减，
则f'（x）≤0对x∈R都成立，
即-x²+ax+2a≤0对x∈R都成立，
即x²-ax-2a≥0对x∈R都成立，
∴△=a²+8a≤0，解得-8≤a≤0，
∴当-8≤a≤0时，函数f（x）在R上单调递减．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．