Question

14．定义：关于x的两个不等式f（x）＜0，g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$），则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式x${\;}^{2}-4\sqrt{3}xcosθ+2＜0$与不等式2x²+4sinθ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（0，π），则θ=$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 依题意知，a、b为x${\;}^{2}-4\sqrt{3}xcosθ+2＜0$=0的两根，方程2x²+4xsinθ+1=0的两根为 $\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，利用韦达定理可得tanθ=-$\sqrt{3}$，θ∈（0，π），从而可求θ．

解答 解：设方为a、b，则a+b=4$\sqrt{3}$cosθ，ab=2，
又方程2x²+4xsin2θ+1=0的两根为$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，
所以 $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=-2sinθ，
所以$\frac{4\sqrt{3}cosθ}{2}$=-2sinθ，即tanθ=-$\sqrt{3}$，
因为θ∈（0，π），
所以θ=$\frac{5π}{6}$．
故答案为：$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查方程思想与韦达定理的应用，求得tanθ=-$\sqrt{3}$是关键，考查运算求解能力，属于中档题．