Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD丄底面ABCD，△PCD为等边三角形，M为BC中点，N为CD中点．若底面ABCD是矩形且AD=2$\sqrt{2}$，AB=2．
（1）证明：MN∥平面PBD；
（2）证明：AM丄平面PMN．

Answer 1

分析 （1）由M为BC中点，N为CD中点，可证MN∥BD，即可证明MN∥平面PBD．
（2）由△PCD为等边三角形，N为CD中点．可证PN⊥CD，又可证PN⊥平面ABCD，从而可证PN⊥AM，连接AN，由勾股定理分别求得：AM，MN，AN，可证AM²+MN²=AN²，即AM⊥MN，从而可证AM⊥平面PMN．

解答 （本题满分为12分）
证明：（1）∵M为BC中点，N为CD中点．
∴MN∥BD，
又∵BD?平面PBD，MN?平面PBD，
∴MN∥平面PBD…4分
（2）∵△PCD为等边三角形，N为CD中点．
∴PN⊥CD，
∵侧面PCD丄底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PN?平面PCD，
∴PN⊥平面ABCD，
∵AM?平面ABCD，
∴PN⊥AM，…7分
连接AN，在Rt△ABM，Rt△MCN，Rt△ADN中，
由勾股定理分别求得：AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$，MN=$\sqrt{M{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，AN=$\sqrt{A{D}^{2}+D{N}^{2}}$=3，
∴AM²+MN²=AN²，
∴AM⊥MN，
又∵MN∩PN=N，MN?平面PMN，PN?平面PMN，
∴AM⊥平面PMN…12分

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．