Question

12．某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：

印刷册数x（千册）	2	3	4	5	8
单册成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：${\hat y^{（1）}}=\frac{4}{x}+1.1$，方程乙：${\hat y^{（2）}}=\frac{6.4}{x^2}+1.6$．
（I）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
①完成下表（计算结果精确到0.1）；

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值${\hat y_i}^{（1）}$		2.4	2.1		1.6
	残差${\hat e_i}^{（1）}$		0	-0.1		0.1
模型乙	估计值${\hat y_i}^{（2）}$		2.3	2	1.9
	残差${\hat e_i}^{（2）}$		0.1	0	0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁及Q₂，并比较Q₁，Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
（II）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.7）或16千册（概率0.3），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，估计印刷厂二次印刷8千册还是16千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）①计算对应的数值，填表即可；②计算模型甲、模型乙的残差平方和，比较即可得出结论；
（Ⅱ）计算二次印刷时的成本，求出对应利润值即可．

解答 解：（Ⅰ）①经计算，可得下表：

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值${\hat y_i}^{（1）}$	3.1	2.4	2.1	1.9	1.6
	残差${\hat e_i}^{（1）}$	0.1	0	-0.1	0	0.1
模型乙	估计值${\hat y_i}^{（2）}$	3.2	2.3	2	1.9	1.7
	残差${\hat e_i}^{（2）}$	0	0.1	0	0	0

②计算模型甲的残差平方和为Q₁=0.1²+（-0.1）²+0.1²=0.03，
模型乙的残差平方和为Q₂=0.1²=0.01，
∴Q₁＞Q₂，模型乙的拟合效果更好；
（Ⅱ）若二次印刷8千册，则估计印刷厂获利为（5-1.7）×8000×0.7=18480（元），
若二次印刷16千册，由（1）可知，单册书印刷成本为$\frac{6.4}{{{{16}^2}}}+1.6=1.625$（元），
则估计印刷厂获利为（5-1.625）×16000×0.3=16200（元），
又∵18480＞16200，
故印刷8千册对印刷厂更有利．

点评 本题考查了残差平方和模拟模型拟合效果的应用问题，也考查了成本与利润的应用问题，是综合题．