Question

2．设等差数列{a_n}满足（1-a₁₀₀₈）⁵+2016（1-a₁₀₀₈）=1，（1-a₁₀₀₉）⁵+2016（1-a₁₀₀₉）=-1，数列{a_n}的前n项和记为S_n，则（　　）

• A． S₂₀₁₆=2016，a₁₀₀₈＞a₁₀₀₉
• B． S₂₀₁₆=-2016，a₁₀₀₈＞a₁₀₀₉
• C． S₂₀₁₆=2016，a₁₀₀₈＜a₁₀₀₉
• D． S₂₀₁₆=-2016，a₁₀₀₈＜a₁₀₀₉

Answer 1

分析 （1-a₁₀₀₉）⁵+2016（1-a₁₀₀₉）=-1，变为：（-1+a₁₀₀₉）⁵+2016（-1+a₁₀₀₉）=1，令f（x）=x⁵+2016x-1，f′（x）=5x⁴+2016＞0，因此方程f（x）=0最多有一个实数根．由f（0）＜0，f（1）＞0，因此f（x）=0有一个实数根x₀∈（0，1）．再利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出．

解答 解：（1-a₁₀₀₉）⁵+2016（1-a₁₀₀₉）=-1，变为：（-1+a₁₀₀₉）⁵+2016（-1+a₁₀₀₉）=1，
令f（x）=x⁵+2016x-1，f′（x）=5x⁴+2016＞0，因此方程f（x）=0最多有一个实数根．
∵f（0）=-1＜0，f（1）=2016＞0，
因此f（x）=0有一个实数根x₀∈（0，1）．
∴1-a₁₀₀₈=a₁₀₀₉-1＞0，
可得a₁₀₀₈+a₁₀₀₉=2，a₁₀₀₈＜1＜a₁₀₀₉．
S₂₀₁₆=$\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}$=$\frac{2016（{a}_{1008}+{a}_{1009}）}{2}$=2016．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．