Question

1．已知函数f（x）=ae^x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+bx+2，且f（x）与g（x）在x=0处有相同的切线．
（1）求函数f（x）的解析式，并讨论f（x）在[t，t+1]（t∈R）上的最小值；
（2）若对任意的x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出两个函数的导函数，利用f（x）与g（x）在x=0处有相同的切线，可得f′（0）=g'（0），且f（0）=g（0），联立求得a，b的值，则函数解析式可求，求出函数的单调区间，然后对t分类求得f（x）在[t，t+1]（t∈R）上的最小值；
（2）由对任意的x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，得2ke^x（x+1）≥x²+4x+2，分x=-1、-2≤x＜-1、x＞-1，分离参数k，然后构造函数，由导数求出函数的最值得答案．

解答 解：（1）由f（x）=ae^x（x+1），g（x）=x²+bx+2，得f′（x）=ae^x（x+2），g'（x）=2x+b．
∵两函数在x=0处有相同的切线，又f′（0）=2a，g'（0）=b，
∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，解得：a=2，b=4．
∴f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．
f′（x）=2e^x（x+2），由f′（x）＞0，得x＞-2，由f′（x）＜0，得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）上单调递增，在（-∞，-2）上单调递减．
①当t+1≤-2，即t≤-3时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
∴$f{（x）_{min}}=f（{t+1}）=2{e^{t+1}}（{t+2}）$；
②当$\left\{\begin{array}{l}t＜-2\\ t+1＞-2\end{array}\right.$，即-3＜t＜-2时，f（x）在[t，-2]上单调递减，在（-2，t+1]上单调递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（{-2}）=-2{e^{-2}}$；
③当t≥-2时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，∴$f{（x）_{min}}=f（t）=2{e^t}（{t+1}）$．
∴$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}2{e^{t+1}}（{t+2}），t≤-3\\-2{e^{-2}}，-3＜t＜-2\\ 2{e^t}（{t+1}），t≥-2\end{array}\right.$；
（2）若对任意的x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，即2ke^x（x+1）≥x²+4x+2（*）对任意的x≥-2恒成立．
（i）当x=-1时，上式化为0≥-1，显然对任意的实数k恒成立．
（ii）当-2≤x＜-1时，（*）式化为$k≤\frac{{{x^2}+4x+2}}{{2{e^x}（{x+1}）}}$，对任意的-2≤x＜-1恒成立．
令$h（x）=\frac{{{x^2}+4x+2}}{{2{e^x}（{x+1}）}}$，则$h'（x）=\frac{{-x{{（{x+2}）}^2}}}{{2{e^x}{{（{x+1}）}^2}}}$，
∴当-2≤x＜-1时，h'（x）≥0，∴h（x）在[-2，-1）上单调递增，
此时$h{（x）_{min}}=h（{-2}）={e^2}$，∴k≤e²．
（iii）当x＞-1时，（*）式化为$k≥\frac{{{x^2}+4x+2}}{{2{e^x}（{x+1}）}}$，对任意的x＞-1恒成立．
由（ii）知h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时h（x）_max=h（0）=1，∴k≥1．
综上，实数k的取值范围为[1，e²]．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性及函数的最值，训练了恒成立问题的求解方法，考查分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题目．