Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；

（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．

 

 

Answer 1

（1）祥见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先证明AB⊥底面BDC，可得AB⊥CD，又DC⊥BC，从而证明DC⊥平面ABC．

（2）由（1）知 EF⊥平面ABC，求得S△AEB＝，代入体积公式VA?BFE＝VF?AEB＝S△AEB•FE进行运算可得答案．

试题解析：（1）证明：在图甲中，∵且

∴ ,即 1分

又在图乙中，∵平面ABD平面BDC ，且平面ABD平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD． 3分

∵，∴DC⊥BC 4分

又由 5分

∴DC平面AB． 6分

（2）∵点E、F分别为AC、AD的中点∴EF//CD 7分

又由（1）知，DC平面ABC

∴EF⊥平面ABC 8分

于是EF即为三棱锥的高，∴ 9分

在图甲中，∵, ∴,

由得 , 11分

∴∴ 12分

∴ 13分

（若有其他解法，可视情况酌情给分）

考点：１．直线与平面垂直的判定；２．柱锥台的体积．