Question

9．已知函数f（x）为对数函数，并且它的图象经过点（2$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$），g（x）=[f（x）]²-2bf（x）+3，其中b∈R．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=g（x）在区间[$\sqrt{2}$，16]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=log_ax（a＞0且a≠1，代值计算即可求出函数的解析式，
（2）设t=f（x）=log₂x则y=g（t）=（t-b）²+3-b²，对称轴为t=b，再利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论，从而可求函数y=g（x）在区间[$\sqrt{2}$，16]上的最小值

解答 解：（1）设f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
∵f（x）的图象经过点$（2\sqrt{2}，\frac{3}{2}）$，∴$f（2\sqrt{2}）=\frac{3}{2}$，即${log_a}2\sqrt{2}=\frac{3}{2}$
∴${a^{\frac{3}{2}}}=2\sqrt{2}={2^{\frac{3}{2}}}$，即a=2
∴f（x）=log₂x（x＞0）．
（2）设t=f（x）=log₂x，∵$\sqrt{2}≤x≤16$，∴${log_2}\sqrt{2}≤x≤{log_2}16$
∴$\frac{1}{2}≤f（x）≤4$，即$\frac{1}{2}≤t≤4$
则y=g（t）=t²-2bt+3=（t-b）²+3-b²，$（\frac{1}{2}≤t≤4）$，对称轴为t=b
①当$b＜\frac{1}{2}$时，y=g（t）在$[\frac{1}{2}，4]$上是增函数，${y_{min}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{13}{4}-b$
②当$\frac{1}{2}≤b≤4$时，y=g（t）在$[\frac{1}{2}，b]$上是减函数，在（b，4]上是增函数，${y_{min}}=g（b）=3-{b^2}$
③当b＞4时，y=g（t）在$[\frac{1}{2}，4]$上是减函数，y_min=g（4）=19-8b
综上所述，${y_{min}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{13}{4}-b，b＜\frac{1}{2}\\ 3-{b^2}，\frac{1}{2}≤b≤4\\ 19-8b，b＞4\end{array}\right.$．

点评 本题重点考查二次函数在指定区间上的最值问题，解题的关键是正确配方，确定函数的对称轴，利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论．