题目内容
4．已知函数f（x）=xm-$\frac{2}{x}$，且f（3）=$\frac{7}{3}$．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并判断函数f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．
分析 （Ⅰ）代入法求出m的值，求出f（x）的解析式，根据函数奇偶性的定义判断即可；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义证明即可．
解答 解：（Ⅰ）由f（3）=$\frac{7}{3}$，可知m=1，
所以函数的解析式为f（x）=x-$\frac{2}{x}$…（3分）
又因为函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
且f（-x）=（-x）-（-$\frac{2}{x}$）=-（x-$\frac{2}{x}$）=-f（x），由函数奇偶性定义可知，
函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$为奇函数…（6分）
（Ⅱ）证明：设x1，x2是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=（x1-$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x2-$\frac{2}{{x}_{2}}$）=（x1-x2）（1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$），…（9分）
因为0＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$在区间（0，+∞）是单调递增函数…（12分）
点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，考查代入求值问题，是一道基础题．
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| A． | （0，$\frac{1}{2}$） | B． | （$\frac{1}{2}$，+∞） | C． | （$\frac{1}{3}$，1） | D． | （3，+∞） |
