Question

已知函数f（x）=

|2x-1|-1，x≤1 x2-3x+3 x-1 ，x＞1

，下列关于函数g（x）=[f（x）]²+af（x）-1（其中a为常数）的叙述中：
①对?a∈R，函数g（x）至少有一个零点；
②当a=0时，函数g（x）有两个不同零点；
③?a∈R，使得函数g（x）有三个不同零点；
④函数g（x）有四个不同零点的充要条件是a＜0．
其中真命题有

 

．（把你认为的真命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数零点的判定定理

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：首先化简函数式，结合指数函数的性质、基本不等式，求出函数的值域，画出函数f（x）的图象，对g（x）=0的两根加以判断，通过a的取值，结合图象一一加以判断即可．

解答： 解：当0≤x≤1时，f（x）=2^x-1-1=2^x-2，当x＜0时，f（x）=1-2^x-1=-2^x，且-1≤f（x）≤0，
当x＞1时，f（x）=

(x-1)2+2-x

x-1

=x-1+

1

x-1

-1，
且f（x）≥1，如右图所示，
又函数g（x）=[f（x）]²+af（x）-1（其中a为常数）
判别式为a²+4＞0，则g（x）=0有两个不等的实根，且
设f（x）=m，n，且mn=-1，m+n=-a，
①若a=

3

2

，则设m=-2，n=

1

2

，则结合图象可知，
函数g（x）没有零点，故①错；
②当a=0时，g（x）=0则f（x）=±1，函数g（x）有两个零点，故②正确；
③若存在函数g（x）有三个不同零点，则x轴上方2个，下方1个；或上方1个，下方2个．即有f（x）=-1，
由于mn=-1，故还有f（x）=1，不成立；第二种情况也不成立，上方有1个，即f（x）=1，还有f（x）=-1，
故③错；
④函数g（x）有四个不同零点?即在x轴上方有两个、下方有两个，即-1＜m＜0且n＞1，即m+n＞0，-a＞0
即a＜0，故函数g（x）有四个不同零点的充要条件是a＜0，即④正确．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查函数的零点及判断，考查函数的性质及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．