Question

已知中心在原点的椭圆与双曲线的公共焦点F₁、F₂都在x轴上，记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若△PF₁F₂是以PF₁（F₁为左焦点）为底边的等腰三角形，双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用离心率的定义，及双曲线的离心率的值为3，|F₁F₂|=|PF₂|，可求得|PF₂|=2c，∴PF1|=

8

3

c利用椭圆的定义，可得结论．

解答： 解：设|PF₁|+|PF₂|=2a′，|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵△PF₁F₂是以PF₁（F₁为左焦点）为底边的等腰三角形，双曲线的离心率为3，
∴|PF₂|=2c，

c

a

=3，
∴a=

c

3

，
∴|PF1|=

8

3

c，
可得结论．∴

8

3

c+2c=2a′，
∴

14

3

c=2a′，
∴

c

a′

=

6

14

=

3

7

故答案为：

3

7

．

点评：本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题．