Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），则$\frac{{a}_{3}+{a}_{1005}}{{a}_{3}{a}_{1005}}$=（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2017
• D． 2018

Answer 1

分析 a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为3，公差为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+2（n-1）=2n+1，
则$\frac{{a}_{3}+{a}_{1005}}{{a}_{3}{a}_{1005}}$=$\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{1005}}$=7+2×1005+1=2018．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“取倒数”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．