Question

16．已知函数f（x）=x+sinπx，则$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4033}{2017}）$=（　　）

• A． 4033
• B． -4033
• C． 4034
• D． -4034

Answer 1

分析 利用题意首先求解f（x）+f（2-x）的值，然后利用倒序相加求和的方法即可求得最终结果．

解答 解：结合函数的解析式可得：
f（x）+f（2-x）=x+sinπx+（2-x）+sinπ（2-x）=x+sinπx+（2-x）-sinπx=2．
设 $S=f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4033}{2017}）$，①
则：$S=f（\frac{4033}{2017}）+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4031}{2017}）+…+f（\frac{1}{2017}）$，②
①+②可得：$2S=[f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）]+…+[f（\frac{4033}{2017}）+f（\frac{1}{2017}）]$，
即 2S=2+2+…+2=2×4033，∴S=4033，
据此可得：$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4033}{2017}）=4033$．
故选：A．

点评 本题考查函数值的求解，倒序相加求和，诱导公式及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．