Question

11．如图，已知正方体ABCD-A${\;}_{{1}_{\;}}$B₁C₁D₁，BD，BC₁，B₁D₁，A₁C₁分别为各个面的对角线；
（1）求证：A₁C₁⊥平面BB₁D₁D；
（2）求异面直线B₁D₁与BC₁所成的角．

Answer 1

分析 （1）推导出BB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥B₁D₁，由此能证明A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
（2）连结DC₁，由B₁D₁∥BD，知∠DBC₁是异面直线B₁D₁与BC₁所成的角，由此能求出异面直线B₁D₁与BC₁所成的角．

解答 证明：（1）∵正方体ABCD-A${\;}_{{1}_{\;}}$B₁C₁D₁中，
BB₁⊥平面A${\;}_{{1}_{\;}}$B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A${\;}_{{1}_{\;}}$B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁C₁，∴A₁C₁⊥B₁D₁，
又∵B₁D₁∩BB₁=B₁，BB₁?平面BB₁D₁D，B₁D₁?平面BB₁D₁D，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
解：（2）连结DC₁，
∵B₁D₁∥BD，∴∠DBC₁是异面直线B₁D₁与BC₁所成的角，
∵BD=BC₁=DC₁，
∴∠DBC₁=60°，
∴异面直线B₁D₁与BC₁所成的角为60°．

点评 本题线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．