Question

17．已知曲线M的方程为x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0．
（1）若曲线M表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若曲线M与圆N：x²+y²=4关于直线l对称，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）将圆C方程化成标准形式得（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3，因此若方程表示圆则-m²+2m+3＞0，解之得即可得到实数m的取值范围；
（2）先求出两圆的圆心坐标，再求出两圆圆心连线构成的线段的垂直平分线方程，即为所求．

解答 解：（1）将方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0化成标准形式，得：
（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3，
∵方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圆C．
∴-m²+2m+3＞0，解之得-1＜m＜3；
（2）由（1）可得-m²+2m+3=4，∴m=1，
∴曲线M的方程为（x-2）²+（y+1）²=4．
直线l是圆x²+y²=4和圆（x-2）²+（y+1）²=4两圆的圆心的垂直平分线，
两圆的圆心分别为N（0，0）、M（2，-1），线段NM的中点 C（1，-$\frac{1}{2}$），
MN的斜率为-$\frac{1}{2}$，故直线l的斜率为2，
由点斜式求得直线l的方程为y+$\frac{1}{2}$=2×（x-1），即4x-2y-3=0．

点评 本题给出含有参数m的圆方程，求参数m的取值范围．着重考查了圆的标准方程和圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．