Question

2．如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{2π}{3}$，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=$\frac{2π}{3}$，EC=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求sin∠BCE的值；
（Ⅱ）求CD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；
（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE²=BE²+CB²-2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理得CB²=BE²+CE²-2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2$\sqrt{7}$，在△CED中，由余弦定理得CD²=CE²+DE²-2CE•DEcos120°即可

解答 解：（Ⅰ）在△CBE中，由正弦定理得$\frac{CE}{sinB}=\frac{BE}{sin∠BCE}$，sin∠BCE=$\frac{BEsinB}{CE}=\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$，
（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE²=BE²+CB²-2BE•CBcos120°，即7=1+CB²+CB，解得CB=2．
由余弦定理得CB²=BE²+CE²-2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．⇒sin∠BEC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
sin∠AED=sin（120⁰+∠BEC）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}=\frac{\sqrt{21}}{14}$，⇒cos∠AED=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
在直角△ADE中，AE=5，$\frac{AE}{DE}$═cos∠AED=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，⇒DE=2$\sqrt{7}$，
在△CED中，由余弦定理得CD²=CE²+DE²-2CE•DEcos120°=49
∴CD=7．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题