题目内容

已知函数f（x）=1+
3
x-2
，x∈[3，7]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的性质
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：（1）由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f（x2）-f（x1）与0的大小即可得出f（x）在R上是减函数；
（2）根据单调性得出函数的最值即可．
解答： 解：（1）函数f（x）在x∈[3，7]上单调递减，证明如下：
设3≤x1＜x2≤7，
则f（x1）-f（x2）=
3
x1-2
-
3
x2-2
=
3(x2-x1)
(x1-2)(x2-2)
，
∵x1-x2＜0，（x1-2）（x2-2）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在[3，7]上的单调递减．
（2）由（1）知，∴当x∈[3，7]时，f（x）max=2，f（x）min=
7
4
．
点评：本题考查灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
|lgx|，x＞0
-x(x+4)，x≤0
，则函数y=f（x）-3的零点的个数为（　　）
A、1B、2C、3D、4
在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．
讨论关于x的方程|x2+2x-3|=a的实根的个数．
已知函数f（x）=x3-x2-x+a．
（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）有且仅有一个零点，求实数a的范围．
经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，已知前30天价格为f（t）=
1
2
t+30（1≤t≤30），t∈N），后20天价格f（t）=45，（31≤t≤50，t∈N）且销售量近似地满足g（t）=-2t+200（1≤t≤50，t∈N）
（Ⅰ）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式；
（Ⅱ）求日销售额S的最大值．
已知f（x）=alnx-bx2，若函数f（x）在x=1处与直线y=-
1
2
相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．
已知函数f（x）=x2-alnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；
（Ⅱ）若存在x∈[2，e]，使得f（x）≥（a-2）x成立，求实数a的取值范围．
设f（x）是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求f（0）．
（2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0．
（3）求证：f（x）在R上是减函数．
（4）若f（x）•f（2+x）＞1，求x的取值范围．

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