Question

设f（x）是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求f（0）．
（2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0．
（3）求证：f（x）在R上是减函数．
（4）若f（x）•f（2+x）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，再判断f（0）≠0；
（2）任意的x，y∈R，令x=y=

1

2

x，即可证得对任意的x∈R，有f（x）＞0；
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性；
（4）由题意得（x）•f（2+x）=f（2+2x）＞1=f（0），得到不等式，解得即可．

解答： 解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0）
∴f（0）=1，或f（0）=0，
若f（0）=0，令y=0，则f（0）=0恒成立，故舍去，
∴f（0）=1
（2）任意的x，y∈R，令x=y=

1

2

x，
则f（x）=f（

1

2

x+

1

2

x）=f（

1

2

x）•f（

1

2

x）=[f（

1

2

x）]²＞0，
∴x∈R时，恒有f（x）＞0．
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＜0
∴f（x₁-x₂）＞f（0）=1
∴f（x₁-x₂）-1＞0
对f（x₂）＞0
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在R上是减函数
（4）∵f（x）•f（2+x）＞1，
∴f（2+2x）＞1=f（0），
∵f（x）在R上是减函数，
∴2+2x＜0
解得x＜-1，
故x的取值范围为（-∞，-1）

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．