Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且经过点（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求得b，结合离心率及隐含条件求得a，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得两点横纵坐标的乘积，再由向量数量积为0求得m与k的关系，分类求出直线方程可得直线l过定点的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵点（0，1）在椭圆上，∴b²=1，即b=1．
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{{{a^2}-1}}{a^2}=\frac{3}{4}$，解得a=2．
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（1+4k²）x²+8mkx+4（m²-1）=0，
△=64m²k²-16（1+4k²）（m²-1）＞0，即1+4k²-m²＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+m）•（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+mk（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴AD⊥BD，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BD}=0$，
∵$\overrightarrow{AD}=（2-{x_1}，-{y_1}），\overrightarrow{BD}=（2-{x_2}，-{y_2}）$，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，即$\frac{{4（{m^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}+\frac{16mk}{{1+4{k^2}}}+4+\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}=0$，
即5m²+16mk+12k²=0，解得：${m_1}=-2k，{m_2}=-\frac{6k}{5}$，且满足1+4k²-m²＞0．
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当$m=-\frac{6k}{5}$时，$l：y=k（x-\frac{6}{5}）$，直线过定点$（\frac{6}{5}，0）$．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为$（\frac{6}{5}，0）$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．