Question

（本小题满分12分）
已知 是各项都为正数的数列，其前 项和为，且满足．
（Ⅰ）求，， 的值；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）令＝，求证．

Answer 1

（Ⅰ）=1，，
（Ⅱ）
（Ⅲ）证明见解析。

（Ⅰ）解：（I）令，则有舍去）．
令，得，即．
∴（舍去负值）．
同理，令可解得．                                     3分
（Ⅱ）解法一：（可猜想通项公式并用数学归纳法证明，略）
解法二：∵，① 又≥2时有，代入①式并整理得
 ＝1．∴是首项为1，公差为1的等差数列.                 6分
∴，∴（≥2），又
∴．                                                   8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知…＋≤1＋…
＝1＋1-…＋．
即．                                                      12分