Question

15．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=λ|PF₂|（λ＞1），$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，则λ=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2+\sqrt{3}$
• C． $2+\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=λ|PF₂|，可得|PF₁|，|PF₂|，再由勾股定理和离心率公式，可得
λ²-4λ+1=0，解方程可得所求值．

解答 解：由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
|PF₁|=λ|PF₂|，可得|PF₁|=$\frac{2aλ}{λ-1}$，
|PF₂|=$\frac{2a}{λ-1}$，
由双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，可得c=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$b，
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得PF₁⊥PF₂，
即有|PF₁|²+|PF₂|²=4c²=8a²，
即有$\frac{4{a}^{2}{λ}^{2}}{（λ-1）^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{（λ-1）^{2}}$=8a²，
即为λ²-4λ+1=0，
解得λ=2+$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$舍去）．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用双曲线的定义和离心率公式、勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．