Question

1．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是对称中心．
（Ⅰ）求函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的函数f（x），计算f（-98）+f（-97）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（99）+f（100）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，对于函数f（x），依次计算f′（x）与f″（x），再令f″（x）=0，解可得x=1，将x=1代入f（x）中，可得f（1）的值，即可得函数f（x）的对称中心；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分析可得f（1-x）+f（1+x）=2，进行可得f（-98）+f（100）=f（1-99）+f（1+99）=2，f（-97）+f（99）=f（1-98）+f（1+98）=2，
…f（0）+f（2）=f（1-0）+f（1+1）=2，由此计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，对于函数f（x）=x³-3x²+3x，其导数f′（x）=3x²-6x+3，
f″（x）=6x-6，
若f″（x）=0，即6x-6=0，解可得x=1，
f（1）=1-3+3=1，
故函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心为（1，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心为（1，1），
则有f（1-x）+f（1+x）=2，
f（-98）+f（100）=f（1-99）+f（1+99）=2，
f（-97）+f（99）=f（1-98）+f（1+98）=2，
…
f（0）+f（2）=f（1-0）+f（1+1）=2，
故f（-98）+f（-97）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（99）+f（100）
=f（1）+[f（-98）+f（100）]+[f（-97）+f（99）]+…+[f（0）+f（2）]=99×2+1=199．

点评 本题考查导数的计算，关键是认真分析题意，掌握函数的对称中心的计算方法．