Question

14．函数f（x）=x²+x+sinx+cosx+c的图象不过坐标原点，且当x∈[-π，π]时，f（x）的图象不存在关于坐标原点对称的两点，则c可取到的最大负整数是-9．

Answer 1

分析 假设f（x）图象上存在两点关于原点对称，设其中一个点横坐标为x，则f（x）+f（-x）=0，x∈（0，π]，得出c关于x的函数，求出函数c（x）的值域即c的范围M，则符合条件的c为集合M的补集，得出答案．

解答 解：∵f（x）的图象不过坐标原点，
∴f（0）≠0，即1+c≠0，∴c≠-1．
假设f（x）的图象存在关于坐标原点对称的两点，设两点坐标为（x，f（x）），（-x，-f（x））．x∈（0，π]
则f（x）+f（-x）=0，
∴2x²+2cosx+2c=0，
∴c=-x²-cosx，
∴c′（x）=-2x+sinx＜0．
∴c（x）在（0，π]上单调递减，
∴1-π²≤c＜-1，
∵f（x）的图象不存在关于坐标原点对称的两点，∴c≥-1或c＜1-π²≈-8.87．
又∵c≠-1，
∴c可取到的最大负整数为-9．
故答案为：-9．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的值域，属于中档题．