题目内容
已知以原点为中心，以坐标轴为对称轴的椭圆C的一个焦点为(0，
)，且过点（0，2）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，k为何值时
⊥
？此时|
|的值是多少？
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，k为何值时
| OA |
| OB |
| AB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由题意根据椭圆的性质可得c=
、a=2，b=1，从而求得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2），把直线代入椭圆的方程，再利用韦达定理求得 x1+x2 和x1•x2．根据
•
=0，求得k的值．根据|AB|=
•|x1-x2|=
•
，计算求得结果．
| 3 |
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2），把直线代入椭圆的方程，再利用韦达定理求得 x1+x2 和x1•x2．根据
| OA |
| OB |
| 1+k2 |
1+
|
| (x1+x2)2-4x1•x2 |
解答：
解：（Ⅰ）根据所求的椭圆以原点为中心，以坐标轴为对称轴的椭圆C的一个焦点为(0，
)，
且过点（0，2），可得c=
，a=2，
∴b=1，椭圆C的标准方程为
+
=1．
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
由
可得 （k2+4）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-
，x1•x2=
．
∵
⊥
，∴
•
=0，即 x1•x2+y1•y2=0，即（1+k2）x1•x2+k（x1+x2）+1=0，
即 （1+k2）（
）+k（-
）+1=0，化间得-4k2+1=0，解得k=±
．
此时，|AB|=
•|x1-x2|=
•
=
•
=
．
| 3 |
且过点（0，2），可得c=
| 3 |
∴b=1，椭圆C的标准方程为
| y2 |
| 4 |
| x2 |
| 1 |
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
由
|
| 2k |
| k2+4 |
| -3 |
| k2+4 |
∵
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
即 （1+k2）（
| -3 |
| k2+4 |
| 2k |
| k2+4 |
| 1 |
| 2 |
此时，|AB|=
| 1+k2 |
1+
|
| (x1+x2)2-4x1•x2 |
| ||
| 2 |
(±
|
4
| ||
| 17 |
点评：本题主要考查椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系、弦长公式的应用，属于中档题．
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| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、π |