Question

7．P是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上的一点，F₁、F₂分别是左右焦点，若|PF₁|=3|PF₂|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（　　）

• A． $±\sqrt{2}$
• B． $±\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据椭圆的定义求出|PF₂|=1，结合椭圆的焦半径公式，求出P的横坐标，求出函数的导数，利用导数 的几何意义即可求出切线斜率．

解答 解：在$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$中，a²=4，b²=2，c²=a²-b²=4-2=2，
则c=$\sqrt{2}$，a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵|PF₁|=3|PF₂|，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴4|PF₂|=4，则|PF₂|=1，
设P（x₀，y₀），
则由|PF₂|=a-ex₀=1，
得2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀=1，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀=1，得x₀=$\sqrt{2}$，则设P（x₀，y₀），
若P为第一象限的点，
则y=$\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}$，
则y′=-$\frac{x}{2\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}}$，
当x=$\sqrt{2}$时，切线斜率k=f′（$\sqrt{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2•\sqrt{2-\frac{2}{2}}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
若P为第四象限的点，
则y=-$\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}$，
则y′=$\frac{x}{2\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}}$，
当x=$\sqrt{2}$时，切线斜率k=f′（$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2•\sqrt{2-\frac{2}{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故过点P的椭圆的切线的斜率是$±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查椭圆性质的应用，根据条件的定义结合焦半径公式求出P点的横坐标，利用导数的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．