Question

12．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线
l₁交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．
（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；
（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l₂交直线l₁于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），求出切线AD的方程，推出|PQ|，通过|FD|=2时，∠AFD=60°求出p=2，抛物线方程．
（2）设B（x₂，y₂）（x₂＜0）则B处的切线方程为$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}$，联立直线椭圆方程组，求出P的坐标；
法一：利用∠APB为锐角，数量积大于0，直线AB过（0，m），推出m的取值范围．
法二：令y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+m\end{array}\right.$借助韦达定理，数量积的关系，推出$\left\{\begin{array}{l}m-1＞0\\ 4{m^2}-4m＞0\end{array}\right.⇒m＞1$

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），则切线AD的方程为：y=$\frac{{x}_{1}}{p}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，
所以D（$\frac{{x}_{1}}{2}，0$），Q（0，-y₁）；|PQ|=$\frac{P}{2}+{y}_{1}$，$|{FA}|=\frac{p}{2}+{y_1}$，
所以|FQ|=|FA|，
且D为AQ中点，所以DF⊥AQ，
∵|DF|=2，∠AFD=60°，
∴$∠QFD={60°}，\frac{p}{2}=1$，得p=2，
抛物线方程为x²=4y
（2）设B（x₂，y₂）（x₂＜0）则B处的切线方程为$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}$
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_1}{2}x-\frac{x_1^2}{4}\\ y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}\end{array}\right.⇒p（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}）$，
法一：$\overrightarrow{PA}=（\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}（{x_1}-{x_2}）}}{4}），\overrightarrow{PB}=（\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}，\frac{{{x_2}（{x_2}-{x_1}）}}{4}）$，
∵∠APB为锐角，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-\frac{{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}}{4}-\frac{{{x_1}{x_2}{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}}{16}＞0⇒{x_1}{x_2}＜-4$
直线AB：$y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{{\frac{x_1^2}{4}-\frac{x_2^2}{4}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x\right.\left.{-{x_1}}）⇒y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}（x-{x_1}）$
将（0，m）代入的$m=-\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}＞1$，∴m的取值范围为（1，+∞）．
法二：令y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+m\end{array}\right.$得x²-4kx-4m=0x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m
∴$P（2k，-m），\overrightarrow{PA}=（{x_1}-2k，{y_1}+m），\overrightarrow{PB}=（{x_2}-2k，{y_2}+m）$
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{x_1}-2k）（{x_2}-2k）+（{y_1}+m）（{y_2}+m）=（1+{k^2}）{x_1}{x_2}$+（2km-2k）（x₁+x₂）+4k²+4m²=4（m-1）k²+4m²-4m＞0对任意k恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}m-1＞0\\ 4{m^2}-4m＞0\end{array}\right.⇒m＞1$

点评 本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率的数量积的应用，考查转化思想与分析问题解决问题的能力．