Question

12．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则$\frac{{\sqrt{2}b}}{a}$的取值范围是（　　）

• A． $（\sqrt{2}，2）$
• B． $（2，\sqrt{6}）$
• C． $（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$
• D． $（\sqrt{6}，4）$

Answer 1

分析 由B=2A，得到sinB=sin2A，利用二倍角的正弦函数公式变形，再利用正弦定理化简，表示出$\frac{b}{a}$，进而根据cosA的范围确定出所求式子的范围即可．

解答 解：∵B=2A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，
利用正弦定理化简得：b=2acosA，即$\frac{b}{a}$=2cosA，
∵C=π-A-B=π-3A，C为锐角，
∴0＜π-3A＜$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{3}$，
又B=2A，B为锐角，
∴0＜2A＜$\frac{π}{2}$，即0＜A＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$＜$\frac{b}{a}$＜$\sqrt{3}$，
则$\frac{\sqrt{2}b}{a}$的取值范围是（2，$\sqrt{6}$），
故选：B．

点评 此题考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，以及余弦函数的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．