Question

若直线xcosθ+ysinθ-1=0与圆（x-1）²+（y-sinθ）²=

1

16

相切，且θ为锐角，则该直线的倾斜角是（　　）

• A、

  2π

  3

• B、

  5π

  6

• C、

  π

  6

• D、

  π

  3

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：由已知条件得圆心到直线的距离d=

|cosθ+sin2θ-1|

cos2θ+sin2θ

=r=

1

4

，得到cosθ=

1

2

，从而直线的斜率k=-

cosθ

sinθ

=-

3

3

，由此能求出直线的倾斜角．

解答： 解：根据圆的方程（x-1）²+（y-sinθ）²=

1

16

，
得到圆心坐标（1，sinθ），半径r=

1

4

，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离d=

|cosθ+sin2θ-1|

cos2θ+sin2θ

=r=

1

4

，
化简得：-cosθ+cos²θ=

1

4

，即（2cosθ-1）²=0，解得：cosθ=

1

2

，
由θ为锐角，得到θ=

π

3

，
则直线的斜率k=-

cosθ

sinθ

=-cotθ=-cot

π

3

=-tan

π

6

=-

3

3

．
∴直线的倾斜角为：

5π

6

．
故选：B．

点评：本题考查直线的倾斜角的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、三角函数知识的合理运用．