Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的正弦值为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  3

• C、

  2

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,空间角

分析：根据线面成角的定义，确定线面角，然后根据三角形的边角关系即可得到结论．

解答： 解：连接B₁D，BD，则：AC⊥BD，
又AC⊥BB₁，∴AC⊥平面BB₁D，∴B₁D⊥AC，
同理B₁D⊥AD₁，∴B₁D⊥平面ACD₁；
设B₁D交平面ACD₁于E，连接EA，EC，ED₁，B₁D₁，B₁A，B₁C，
则容易证明△B₁ED₁，△B₁EC，△B₁EA，三个三角形全等，
取CD₁中点F，连接EF，则EF⊥CD₁，∠ED1F=

π

6

，
设正方体的棱长为a，则CD1=

2

a，D1F=

2

2

a，D1E=

2 2

3 2

=

6

3

；
通过前面知∠DD₁E是DD₁和平面ACD₁所成的角，
又BB₁∥DD₁，
∴它也是BB₁与平面ACD₁所成角，则：
cos∠DD₁E=

D1E

DD1

=

6 3 a

a

=

6

3

，
∴sin∠DD₁E=

3

3

．
故选B．

点评：本题考查线面角的定义，线面垂直的判定．要学会本题找线面角的过程，而求解本题的关键是找BB₁与平面ACD₁所成的角，转化成找DD₁该平面所成的角，再一点，通过观察图形连接B₁D．