Question

已知函数f（x）=2cos（x-

π

3

）+2sin（

3π

2

-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）求函数f（x）的最大值并求f（x）取得最大值时的x的取值集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用倍角公式和和差差公式，可将函数f（x）的解析式化为f（x）=2sin（x-

π

6

）的形式，
（2）令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π（k∈Z），解出x的范围，进而可得函数f（x）的单调减区间，
（3）令x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），结合A=2，可得f（x）的最大值并求f（x）取得最大值时的x的取值集合．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cosxcos

π

3

+2sinxsin

π

3

-2cosx=cosx+

3

sinx-2cosx=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），
（2）令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π（k∈Z），
∴2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

（k∈Z），
∴单调递减区间为[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]（k∈Z）
（3）f（x）取最大值2时，x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
则x=2kπ+

2π

3

（k∈Z）．
∴f（x）的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是{x|x=2kπ+

2π

3

，k∈Z}

点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换，正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．