Question

已知函数f（x）=log

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|sinx|．
（1）求其定义域和值域；
（2）判断其奇偶性；
（3）求其周期；
（4）写出单调区间．

Answer 1

考点：正弦函数的奇偶性

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）由|sinx|＞0得sinx≠0，即x≠kπ（k∈Z），即可得到定义域；由0＜|sinx|≤1，运用对数函数的单调性，即可得到值域；
（2）运用奇偶性的定义和诱导公式，即可判断，注意定义域关于原点对称；
（3）运用周期函数的定义，计算得到f（x+π）=f（x），即可判断；
（4）令u=|sinx|，则y=log

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u在（0，+∞）上是减函数，求出u=|sinx|的单调区间，再由复合函数的单调性：同增异减，即可得到．

解答： 解：（1）由|sinx|＞0得sinx≠0，∴x≠kπ（k∈Z）．
即函数定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
又0＜|sinx|≤1，∴log

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|sinx|≥0．
∴函数的值域为[0，+∞）．
（2）∵f（x）的定义域关于原点对称，
且f（-x）=）=log

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|sin（-x）|=log

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|sinx|=f（x）．
∴f（x）为偶函数．
（3）函数f（x）是周期函数，
∵f（x+π）=log

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|sin（x+π）|=log

1

2

|sinx|=f（x），
∴f（x）的周期T=π．
（4）令u=|sinx|，
则y=log

1

2

u在（0，+∞）上是减函数，
由于u在（kπ，kπ+

π

2

）上递增，在（kπ+

π

2

，kπ+π）上递减，
则f（x）在（kπ，kπ+

π

2

）上递减，在（kπ+

π

2

，kπ+π）上递增，
即f（x）的单调增区间为（kπ+

π

2

，kπ+π），单调减区间为（kπ，kπ+

π

2

）（k∈Z）．

点评：本题考查函数的性质及运用，考查函数的定义域和值域，函数的奇偶性，注意定义域关于原点对照，函数的周期性和函数的单调性，注意复合函数的单调性：同增异减，属于中档题和易错题．