Question

7．求函数y=$\frac{si{n}^{2}x}{3}$+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$的值域．

Answer 1

分析 令sin²x=t∈（0，1]．函数y=$\frac{si{n}^{2}x}{3}$+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$=$\frac{t}{3}$+$\frac{3}{t}$=f（t），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：令sin²x=t∈（0，1]．
∴函数y=$\frac{si{n}^{2}x}{3}$+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$=$\frac{t}{3}$+$\frac{3}{t}$=f（t），
∴f′（t）=$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{{t}^{2}}$=$\frac{（t-3）（t+3）}{3{t}^{2}}$＜0．
∴函数f（t）在t∈（0，1]上单调递减．
∴f（t）∈$[\frac{10}{3}，+∞）$．
∴函数y=$\frac{si{n}^{2}x}{3}$+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$的值域为$[\frac{10}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．