题目内容
如图，直角三角形ABC的三个顶点在给定的抛物线y2=2px（p＞0）上，斜边AB平行于y轴，则AB边上的高|CD|=考点：抛物线的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．
解答：
解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，
可设C的坐标为（
，c），B的坐标为（
，b），则A的坐标为（
，-b）；
=（
-
，c-b），
=（
-
，-b-c）
又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，
即
•
=0，
变形可得|b2-c2|=4p2，
而斜边上的高即C到AB的距离为|
-
|=
=2p．
故答案为：2p．
可设C的坐标为（
| c2 |
| 2p |
| b2 |
| 2p |
| b2 |
| 2p |
| AC |
| c2 |
| 2p |
| b2 |
| 2p |
| CB |
| b2 |
| 2p |
| c2 |
| 2p |
又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，
即
| AC |
| CB |
变形可得|b2-c2|=4p2，
而斜边上的高即C到AB的距离为|
| b2 |
| 2p |
| c2 |
| 2p |
| 4p2 |
| 2p |
故答案为：2p．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
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| 1 |
| i |
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| ||
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|
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| ||||
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| ||||
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|
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