Question

12．设二次函数f（x）=x²+ax+b，若对任意的实数a，都存在实数$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得不等式|f（x）|≥x成立，则实数b的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{1}{3}}]∪[{2，+∞}]$
• B． $（{-∞，-\frac{1}{3}}]∪[{\frac{1}{4}，+∞}）$
• C． $（{-∞，\frac{1}{4}}]∪[{\frac{9}{4}，+∞}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{3}}]∪[{\frac{9}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 问题转化为只需$g（x）=x+\frac{b}{x}，x∈[{\frac{1}{2}，2}]$的最大值与最小值之差小于2即可．通过讨论b的范围，求出最大值和最小值的差，从而确定b的范围即可．

解答 解：问题条件的反面为“若存在实数a，对任意实数$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得不等式|f（x）|＜x成立”，
即$?x∈[{\frac{1}{2}，2}]，-1＜x+\frac{b}{x}+a＜1$，
只要$g（x）=x+\frac{b}{x}，x∈[{\frac{1}{2}，2}]$的最大值与最小值之差小于2即可．
当b≥4时，$g（\frac{1}{2}）-g（2）＜2$，得b∈∅，
当$\frac{1}{4}＜b＜4$时，$\left\{{\begin{array}{l}{g（2）-2\sqrt{b}＜2}\\{g（\frac{1}{2}）-2\sqrt{b}＜2}\end{array}}\right.$，得$\frac{1}{4}＜b＜\frac{9}{4}$，
当$b≤\frac{1}{4}$时，$g（2）-g（\frac{1}{2}）＜2$，得$-\frac{1}{3}＜b≤\frac{1}{4}$，
所以，$-\frac{1}{3}＜b＜\frac{9}{4}$，
综上可得，所求实数b的取值范围是$b≤-\frac{1}{3}，或b≥\frac{9}{4}$，
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．