Question

3．已知函数f_n（x）=$\frac{n{x}^{2}-ax}{{x}^{2}+1}$（n∈N^*）的图象在原点处的切线的倾斜角为135°．
（1）求f₁（x）的单调区间；
（2）设x₁，x₂，…，x_n为正实数，且$\sum_{i=1}^{n}$x_i=1，求证：f_n（x₁）+f_n（x₂）+…+f_n（x_n）≥0．

Answer 1

分析 （1）求出f_n（x）的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a=1，求出f₁（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
（2）求出y=f_n（x）在（$\frac{1}{n}$，f_n（$\frac{1}{n}$））处的切线的方程，当0＜x＜1时，f_n（x）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$），运用累加法，即可得证．

解答 解：（1）f_n（x）=$\frac{{nx}^{2}-ax}{{x}^{2}+1}$（n∈N*）的导数为f′_n（x）=$\frac{{ax}^{2}+2nx-a}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
即有在点（0，f_n（0））处的切线斜率为f′_n（0）=-a=-1，
解得a=1，
f₁（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$，f′₁（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
f′₁（x）＞0，解得x＞$\sqrt{2}$-1或x＜-1-$\sqrt{2}$；
f′₁（x）＜0，解得-1-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$-1．
即有f₁（x）的单调增区间为（-∞，-$\sqrt{2}$-1）∪（$\sqrt{2}$-1，+∞），
单调减区间为（-1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1）；
（2）证明：f_n（x）=$\frac{{nx}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$的导数为f′_n（x）=$\frac{{x}^{2}+2nx-1}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
f_n（$\frac{1}{n}$）=0，f′_n（$\frac{1}{n}$）=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，
即有y=f_n（x）在（$\frac{1}{n}$，f_n（$\frac{1}{n}$））处的切线的方程为y=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$），
当0＜x＜1时，f_n（x）-$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$）=$\frac{{nx}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$-$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$）=$\frac{（n-x{）（nx-1）}^{2}}{{（x}^{2}+1）{（n}^{2}+1）}$≥0，
即有f_n（x）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$），
x_i＞0（i=1，2，…，n），且x₁+x₂+…+x_n=1，即有0＜x_i＜1，i=1，2，…，n．
f_n（x_i）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x_i-$\frac{1}{n}$），
f_n（x₁）+f_n（x₂）+…+f_n（x_n）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x₁-$\frac{1}{n}$+x₂-$\frac{1}{n}$+…+x_n-$\frac{1}{n}$）
即有f_n（x₁）+f_n（x₂）+…+f_n（x_n）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x₁+x₂+…+x_n-$\frac{1}{n}$•n）=0，
综上可得f_n（x₁）+f_n（x₂）+…+f_n（x_n）≥0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法以及化简整理的运算能力和不等式的证明，属于中档题和易错题．