Question

3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且csinC-asinA=（b-a）sinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由csinC-asinA=（b-a）sinB．由正弦定理得c²-a²=b²-ab，即a²+b²-c²=ab．再利用余弦定理即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=$\frac{π}{3}$，可得B=$\frac{2π}{3}$-A且A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，可得cosA+cosB=cosA+cos$（\frac{2π}{3}-A）$=sin$（A+\frac{π}{6}）$．利用A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，$\frac{π}{6}$+A∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵csinC-asinA=（b-a）sinB．
由正弦定理得c²-a²=b²-ab，即a²+b²-c²=ab．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．
又∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=$\frac{π}{3}$，∴B=$\frac{2π}{3}$-A且A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，
故cosA+cosB=cosA+cos$（\frac{2π}{3}-A）$
=cosA$-\frac{1}{2}cosA$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA
=$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA
=sin$（A+\frac{π}{6}）$．
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$\frac{π}{6}$+A∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，∴当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$时，
cosA+sinA取得最大值，为1．

点评 本题考查正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．