Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0），A（﹣a，0），B（0，﹣b），P为C上位于第一象限的动点，PA交y轴于点E，PB交x轴于点F.

（1）探究四边形AEFB的面积是否为定值，说明理由；

（2）当△PEF的面积达到最大值时，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）面积为定值，详见解析（2）

【解析】

（1）设，写出直线方程求出坐标，计算面积可得定值；

（2）求出到直线的距离，由（1）知面积最大时，面积最大，从而只要最大即可，，由在椭圆上，利用基本不等式可得的最大值，从而得出结论．

（1）设P（x0，y0），四边形AEFB的面积为定值，证明如下：

则PA的方程为，可得，故，

同理可得，，

从而四边形AEFB的面积为ab，

所以四边形AEFB的面积为ab.

（2）由题设知直线AB：bx+ay+ab＝0，

点P到AB的距离为d，则，

由（1）可知，当且仅当△ABP的面积最大时，△PEF的面积最大，所以当d取最大值时，△PEF的面积最大，

由于P在C上，故，可得，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以点P的坐标为.