Question

【题目】如图，四边形是边长为2的菱形，，，都垂直于平面，且.

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）法一由，利用线面平行的判定定理，得到面，同理面，再由面面平行的判定定理得到面面即可.

（2）法一：连接，交于点，利用线面垂直的判定定理易得面，面，面，∴，又，，四边形为矩形，利用等体积法求解.

（1）法一∵，面，面，

∴面，

∵平面，平面，∴，

又面，面，∴面，

∵，∴面面，

又面，∴面.

法二：取中点，连接，，

∵平面，平面，

∴，∴四边形为平行四边形，

∴，∴四边形为平行四边形，

∴.

∵平面，平面，∴，∴，，，四点共面.

∴面.

又面，∴面.

（2）法一：连接，交于点，

∵面，面，∴.

又，，

∴面.

在等边中，，，

∵面，面，

∴，又，.

∴四边形为矩形，

∴.

∴.

法二：∵面，面，∴，

又面，面，

∴面.

取中点，连接，

∵面，面，∴，

在等边中，，

又，∴面，

∴到面的距离即为.

又，

∴.