Question

【题目】在平面直角坐标系中取两个定点，，再取两个动点，，且.

(1)求直线与的交点的轨迹的方程；

(2)过的直线与轨迹交于两点，过点作轴且与轨迹交于另一点，为轨迹的右焦点，若，求证：

Answer 1

【答案】(1)； (2)证明见解析

【解析】

(1)由直线所过两点可得直线和的方程，设为两直线交点，则两方程做乘法整理可得所求轨迹方程；

(2)设过直线及坐标，将直线方程与椭圆方程联立整理可得韦达定理的形式；由可得；通过分析法可知，若要证，只需证得，将等式整理后可知最终只需证得，将韦达定理的结论代入即可知等式成立，即所证成立.

(1)由题意知，直线的方程为：…①

直线的方程为：…②

设是直线与的交点，

①×②得：，整理得：

即点的轨迹的方程为：

(2)证明：设过点的直线，，，则

由消去得：

，

由得：

由(1)知：，则要证，即证

只需证，只需

即证

又，

，即

成立 成立