题目内容
19．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前项和为Sn，满足S5•S6+15=0．（1）若S5=5，求数列{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn}的前n项和为Tn，Tn=an2，求{bn}的通项公式．
分析 （1）通过联立S5=5与S6=-3可求出首项和公差，代入公式即得结论；
（2）通过（1）可知Tn=9n2-60n+100，当n≥2时，利用bn=Tn-Tn-1可得通项公式，进而验证当n=1时是否成立即可．
解答 解：（1）由题意知S5=5，S6=-3，所以$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=5}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=-3}\end{array}\right.$，…（2分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=1}\\{{a}_{1}+\frac{5}{2}d=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=7}\\{d=-3}\end{array}\right.$，…（4分）
从而an=10-3n； …（6分）
（2）由（1）可知Tn=an2=（10-3n）2=9n2-60n+100，…（8分）
当n=1时，T1=b1=9-60+100=49；…（10分）
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=（9n2-60n+100）-[9（n-1）2-60（n-1）+100]=18n-69，…（12分）
又∵当n=1时不满足上式，
∴bn=$\left\{\begin{array}{l}{49，n=1}\\{18n-69，n≥2}\end{array}\right.$．…（14分）
点评 本题考查数列的通项，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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