设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线为y=-2x.且一个焦点与抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦点相同.则此双曲线的方程为( )A．$\frac{5}{4}{x^2}-5{y^2}=1$B．$5{y^2}-\frac{5}{4}{x^2}=1$C．$5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线为y=-2x，且一个焦点与抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦点相同，则此双曲线的方程为（　　）

A．

$\frac{5}{4}{x^2}-5{y^2}=1$

B．

$5{y^2}-\frac{5}{4}{x^2}=1$

C．

$5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$

D．

$\frac{5}{4}{y^2}-5{x^2}=1$

分析求得抛物线的焦点坐标，可得a²+b²=1，由题意可得b=-4a，双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线为y=-2x，可得$\frac{b}{a}$=2，解得a，b，即可得到所求双曲线的方程．

解答解：抛物线x²=4y的焦点为（0，1），可得a²+b²=1
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线为y=-2x，∴$\frac{b}{a}$=2，
解得a=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，b=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
即有双曲线的方程为$5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$．
故选：C．

点评本题考查双曲线的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和渐近线方程，考查运算能力，属于中档题．

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