Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-2），且在区间[0，2]上是减函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=（　　）

• A、-8
• B、8
• C、4
• D、-4

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由条件“f（x+2）=-f（x-2），”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．

解答： 解：解：∵f（x+2）=-f（x-2）
∴f（x+4）=-f（x）
∴f（x+8）=-f（x+4）
即 f（x）=f（x+8）
∴f（x）是一个周期函数，周期为8，
又函数是奇函数，所以f（x）关于原点对称．
由f（x）在[0，2]上是减函数，可做函数图象示意图如图：

设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∵f（x）关于y轴对称，结合周期性知，函数关于x=4对称
∴x₁+x₂=-4^_且x₃+x₄=12，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=8，
故选：B．

点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．