Question

8．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=45°，C点的仰角∠CAB=60°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=45°．已知山高BC=100m，则山高MN=$\frac{200}{3}$m．

Answer 1

分析 由题意，通过解△ABC可先求出AC的值，解△AMC，由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=$\frac{200\sqrt{2}}{3}$m，∠MAN=45°，从而可求得MN的值．

解答 解：在RT△ABC中，∠CAB=60°，BC=100m，所以AC=$\frac{200}{\sqrt{3}}$m．
在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=45°，从而∠AMC=60°，
由正弦定理得，$\frac{AC}{sin60°}=\frac{AM}{sin45°}$，因此AM=$\frac{200\sqrt{2}}{3}$m．
在RT△MNA中，AM=$\frac{200\sqrt{2}}{3}$m，∠MAN=45°，得MN=$\frac{200}{3}$m；
故答案为：$\frac{200}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，考查了解三角形的实际应用，属于中档题．