Question

18．已知函数f（x）=x²-2x+a，g（x）=x+$\frac{4}{x}$，若对于?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[1，8]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数的a取值范围是[5，5.5]．

Answer 1

分析 由?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[1，8]，使得f（x₁）=g（x₂），可得f（x）=x²-2x+a在x₁∈[-1，0]的值域为g（x）=x+$\frac{4}{x}$在x₂∈[1，8]的值域的子集，构造关于a的不等式组，可得结论．

解答 解：当?x₁∈[-1，0]时，由f（x）=x²-2x+a得，对称轴是x=1，
f（1）=-1+a是函数的最小值，且f（-1）=3+a是函数的最大值，
∴f（x₁）∈[-1+a，3+a]；
g（x）=x+$\frac{4}{x}$在x₂∈[1，8]的值域为[4，$\frac{17}{2}$]
又∵?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[1，8]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴[4，$\frac{17}{2}$]?[-1+a，3+a]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a≥4}\\{3+a≤\frac{17}{2}}\end{array}\right.$，解得5≤a≤5.5．
综上所述实数a的取值范围是[5，5.5]．
故答案为：[5，5.5]．

点评 本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据已知分析出“f（x）=x²-2x+a在x₁∈[-1，0]的值域为g（x）=x+$\frac{4}{x}$在x₂∈[1，8]的值域的子集”是解答的关键．