Question

19．如图所示，∠xOy=60°，$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若$\overrightarrow m$=x$\overrightarrow{e_1}$+y$\overrightarrow{e_2}$，记$\overrightarrow m$=（x，y），设$\overrightarrow a$=（p，q），若$\overrightarrow a$的模长为1，则p+q的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据 $\overrightarrow a$=（p，q），$\overrightarrow a$的模长为1，进而求出（p+q）²-pq=1，再利用ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，即可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（p，q），$\overrightarrow a$的模长为1，
∴|$\overrightarrow{a}$|=|p$\overrightarrow{{e}_{1}}$+q$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，
∴1=p²+2pqcos60°+q²=p²+pq+q²．
∴（p+q）²-pq=1，
即（p+q）²=1+pq≤1+$（\frac{p+q}{2}）^{2}$，则$（p+q）^{2}≤\frac{4}{3}$，
故-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤p+q≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴p+q的最大值是：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，属中档题．